浦丰投针问题(Buffon’s Needle Problem)是几何概率的经典问题之一,由George-Louis Leclerc和Comte de Buffon于1777年提出——平面上画有等距离为D(D>0)的无限多条平行线,向此平面投掷一根长度为L(L≤D)的针,则该针与任一平行线相交的概率Pcut为:
重复进行投掷的试验,记下试验总次数Nd和针与平行线相交的次数Nc,则利用以上公式可以近似求得圆周率π:
上式是π的有偏估计量。
考虑D≥L的情况,如上图所示,当针与垂直线的夹角为θ时,针投影在水平线上的长度为Lsin(θ),且由于针头处在两平行线中任意位置是等概率的,所以针以夹角θ与左平行线相交的概率为Pcut(θ)=Lsin(θ)/D,针与垂直线成夹角θ的概率为dθ/π,因此,随机投掷的针与平行线相交的概率为:
上面结论也可以使用联合概率密度法证明[1]。
考虑D<L的情况,令。
当θ∈(0, α)时,针与平行线相交的概率为:
当θ∈(α, π/2)时,针与平行线以概率1相交:
因此,当D<L时,随机投掷的针与平行线相交的概率为:
Laplace于1812年提出了浦丰投针问题的另一个变体[2]:
当长为L的针随机投掷到由边长分别为C和D的矩形组成的平面里,则该针与矩形至少一边相交的概率是多少?
令针的基点与下一条垂直线的水平距离为X,与下一条水平线的垂直距离为Y,针与水平方向的夹角为Φ。X、Y、Φ分别在(0, C)、(0, D)、(0, π/2)均匀分布。当X<LcosΦ时,针与一条垂直线相交,其概率为:
类似地,当Y<LsinΦ,针与一条水平线相交,其概率为:
当X<LcosΦ且Y<LsinΦ时,针均与垂直线和水平线相交,其概率为:
因此,针与垂直线或者水平线相交的概率为:
当C→∞时,由上式可得:
与(\ref{F1})结果一样。
既然我们可以通过几何概率的方法估计圆周率π的值,那么能否通过几何概率的方法估计指数e的大小?Nahin于2000年给出了以下方法[2]。想像一个n×n的大正方形,它由相同的m×m的小正方形组成,如下图所示。我们选择这样的m值,可以令n/m为正整数,则小正方形的个数为N=n2/m2。
现有N个飞镖随机地扔向大正方形,令X为某一个小正方形里的飞镖数量,则X服从二项分布,X~B(N,1/N),且有:
小正方形没有飞镖的概率为:
我们可以如下估计e的值:令m很小,则N很大,当N个飞镖扔完后,没有飞镖的小正方形个数为s,则s/N≈1/e,得e≈N/s,其中N/s是e的有偏估计量。
参考:
[1] http://web.mit.edu/urban_or_book/www/book/chapter3/3.3.1.html
[2] Prakash Gorroochurn. Classic Problems of Probability. Wiley, 2012.
[1] http://web.mit.edu/urban_or_book/www/book/chapter3/3.3.1.html
[2] Prakash Gorroochurn. Classic Problems of Probability. Wiley, 2012.
[...] 浦丰投针问题可以根据条件概率进行计算,涉及到积分运算。在[1]的第1.1节中给出了另一种巧妙的解法,不仅使计算量大为减少,而且更加体现几何概率的思想。 [...]