收集与调和级数

Collecting Coupons: Coupons in cereal boxes are numbered 1 to 5, and a set of one of each is required for a prize. With one coupon per box, how many boxes on the average are required to make a complete set?

这是《Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions》书中的第14个题目^[1]。在第一个盒子中，我们得到其中一个数字，在下一个盒子中得到另一个数字的概率为4/5，根据《Trials Until First Success》讨论的结果，得到第二个新的数字平均需要1/(4/5)=5/4个盒子，第三个数字平均再需要1/(3/5)=5/3个盒子，第四个数字需要5/2个盒子，第五个需要5/1个盒子。因此，平均需要的盒子总数为：

一般地，对于有N个不同的数字，每个数字出现的概率是均等的，则N个不同数字全都出现时所需要的总次数平均来说等于：

称为调和级数^[2]，是一个发散级数，其第n个部分和（第n个调和数）的值为：

其中γ是欧拉-马歇罗尼常数，约等于0.5772，而ε_n约等于1/2n，并且随着n趋于正无穷而趋于0。这个结果由欧拉给出。

对于开始的例子，5(ln5 + 1/10 + 0.5772) ≈ 11.43，与11.42非常接近。

考虑某一种包装零食，里面有一张水浒传人物的卡片，那么，要集齐108张不同人物的卡片，平均来说，需要购买该零食的包装数为：