贝特朗悖论（Bertrand's Paradox）

贝特朗悖论：在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。

至少有三种方法可以在一个圆上随机选择一条弦，如下：

解法一：如左图，由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3。此时假定端点在圆周上均匀分布。
解法二：如中图，由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4点与3/4点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的，则所求概率为1/2。此时假定弦的中心在直径上均匀分布。
解法三：如右图，弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的，则所求概率为1/4。此时假定弦长被其中心唯一确定。

这导致同一事件有不同概率，因此为悖论。

同一问题有三种不同答案，究其原因在于圆内“取弦”时规定尚不够具体，不同的“等可能性假定”导致了不同的样本空间，具体如下，其中“均匀分布”应理解为“等可能取点”：
解法一中假定弦的另一端在圆周上均匀分布，圆周上的点组成样本空间Ω1；
解法二中假定弦的中点在直径上均匀分布，直径上的点组成样本空间Ω2；
解法三中假定弦的中点在大圆内均匀分布，大圆内的点组成样本空间Ω3。

可见，上述三个答案是针对三个不同样本空间引起的，它们都是正确的，贝特朗悖论引起人们注意，在定义概率时要事先明确指出样本空间是什么。