浦丰投针问题的另一巧妙解法

浦丰投针问题可以根据条件概率进行计算，涉及到积分运算。在[1]的第1.1节中给出了另一种巧妙的解法，不仅使计算量大为减少，而且更加体现几何概率的思想。

令针长为L，平面上等间距相互平行垂直相交的平行线间距为D，且L<D。令X₁为随机投掷到平面上长为L₁的针与平行线相交的次数，当L₁<D时，则X₁只可取0或1（即要么不相交，要么相交）。

令p_n表示针恰好与n根平行线相交的概率，且令E(X₁)表示随机变量X₁的期望值，则有：

对于L₁<D的情形，有：

而p₁正是我们所要求的针与平行线相交的概率。假如有另一根长为L₂的针随机投掷，则该针与平行线相交的次数X₂也是一个随机变量。随机变量X₁和X₂是相互独立的，除非它们焊接在一起。假如这两根针的一端焊在一起，则可以形成一根直线，或者形成一个角度，不管哪种情形，这两根针同时投掷到平面上，它们与平行线相交的次数仍然是X₁+X₂，此时随机变量X₁和X₂不再相互独立，但它们之和的期望值仍然满足可加性：

以此类推，当有k根针一端都焊在一起时，X₁+X₂+…+X_k仍满足式（\ref{F1}）。

由于E(X₁)依赖于L₁，我们可以表示E(X₁)=f(L₁)，其中f是某一个待定函数。通过把两根针的一端焊在一起形成一条直线，则有E(X₁+X₂)=f(L₁+L₂)，并根据式（\ref{F1}）可得：

从而可推出f是线性函数。由于f随L的增大而单调增大，可推出对于L∈R⁺，有f(L)=rL，其中常数r待定。

考虑一条长为L的刚性线C随机地投掷到平面上，令Y为C与平行线相交的次数，而C可近似表示为多段线段拼接而成，因此Y约等于X₁+X₂+…+X_k，令k→∞，可得

我们可以通过选取合适形状的线C来求得r的值。令C为直径D的线圈，则C恰好有2段小线段与平行线相交，于是E(Y)=2，L=πD，根据式（\ref{F2}）可得：

因此r=2/(πD)。从而对于长度L小平行线间距D的针，其与平行线相交次数的期望值（或相交的概率）为：