On the average, how many times must a die be thrown until one gets a 6?
这是《Fifty Challenging Problems in Probability with Solutions》书中的第4个题目[1]，书中给出了两种解法。
方法一：
设p为在一次掷骰子中得到6的概率（很明显，p=1/6），令q=1-p。则首次掷到6的概率分布为：
| 次数 | 概率 |
|---|---|
| 1 | p |
Trials Until First Success
正则链（Regular Markov Chains）
一个具有n个状态的马尔可夫链如果存在正整数N，使从任意状态i经过N次转移都能以大于零的概率到达状态j（i,j=1,2,...n），则称此马氏链为正则链（Regular Markov Chains）[1]。
正则链的判断方法：对于概率矩阵P，若其某幂次方Pm的所有元素皆为正数，则矩阵P称为正规概率矩阵，此时马氏链称为正则链，或者称马氏链具有遍历性（Ergodicity）[2]。
一个具有遍历性的马尔可夫链经过相当长的时间后，它处于各个状态的概率趋于稳定，且概率稳定值与初始状态无关。在工程技术中，当马尔可夫链的极限概率分布存在时，它的遍历性表示一个系统经过相当长时间后趋于平衡状态，这时[......]
吸收马尔可夫链
在马尔可夫链中，称Pij=1的状态为吸收状态。如果一个马尔可夫链中至少包含一个吸收状态，并且从每一个非吸收状态出发，都可以到达某个吸收状态，那么这个马尔可夫链称为吸收马尔可夫链（Absorbing Markov Chains）[1]。
在上图的醉汉游走模型中，当醉汉处于位置1、2或者3时，他将会以等概率（1/2）向左或者向右走，他一直走，直到他到达位置0（他的家）或者位置4（酒吧）才停止游走。这模型的转移矩阵为：
含有r个吸收状态和t个非吸收状态的吸收链，其转移矩阵的标准形式为：
其中，I是一个r×r的单位矩阵，0是一个r×t的零矩阵，R是一个t×r的[......]
What does randomness look like?（随机是个什么玩意儿？）
1944年6月13日，诺曼底登陆后的一个星期，一阵嗡嗡声呼啸着划破饱受战火的伦敦上空，这种响声来自当时德国发明的战争武器——V-1飞行炸弹。作为巡航导弹的前身，V-1是一种自我推进、由陀螺仪导航、通过简单脉冲式喷气发动机以每秒50次的频率吸进空气点燃燃料提供动力的飞行炸弹。由于高频率的喷气使得这种炸弹发出独特的声音，因此它有了一个绰号：“嗡嗡炸弹（buzzbombs）”。
从1944年的6月到10月，德国从法国海岸和荷兰总共发射了9521枚这种嗡嗡炸弹，其中有2419枚击中了伦敦的目标。英国人担忧这种无人驾驶战机的精确性。它们只是随机地飞过城市，还是会击中既定的目标？德国人真的发[......]
马尔可夫链
马尔可夫链（Markov Chains）[1]是具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程在给定当前知识或信息的情况下，只有当前的状态用来预测将来，过去（即当前以前的历史状态）对于预测将来（即当前以后的未来状态）是无关的，即t+1时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关。在马尔可夫链的每一步，系统根据概率分布，可以从一个状态转移到另一个状态，也可以保持当前状态。
设马尔可夫链从状态Pi转移到Pj的转移概率为pij，则有一步转移概率矩阵：
$$! \begin{equation} P=P(1)=\left[ \begin{matrix} {{p}_{11}} &[......]
随机化回答—敏感性问题调查方法
当在调查时涉及敏感问题，如对被调查者询问其是否试过盗窃、发生过性行为等，采用直接发问方式时，被调查者一般否定回答或者拒绝回答。针对敏感性问题的调查方法，S.L.Warner于1965年提出随机化回答技术[1]，具体操作如下：
假设需要调查试过盗窃的人数比例，则准备如下两个问题：
●问题A：你曾经试过盗窃？
●问题B：你没有试过盗窃？
设计一种手段，让被调查者能以概率PA的比例回答问题A，例如，设计一个划分为两个扇形的圆盘，在扇形上分别写上A和B，圆盘上有一指针，被调查者在调查人员不知情的情况下转动指针，若指针停在A扇形位置，则回答问题A，反之亦然；又如，被调查者在调查者员看不到的情[......]